En clase definimos la evoluta \(e\colon I\to \mathbb{R}^2\) de una curva \(\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2\) p.p.a. y con curvatura positiva, y vimos que las dos propiedades siguientes se cumplen:
- El vector tangente a la evoluta se anula exactamente en los puntos críticos de la curvatura de \(\alpha \), es decir, en los vértices de \(\alpha \) (ver esta entrada sobre los vértices de una curva). Por ejemplo, la evoluta de una elipse deja de ser regular en 4 puntos.
- La dirección de la recta tangente a la evoluta coincide con la dirección de la recta normal a la curva original.
La propiedad 2 anterior se puede llevar un paso más allá: prueba que la recta afín tangente a la evoluta coincide con la recta afín normal a la curva original.
Prueba que la evoluta de la elipse \(\alpha \colon [0,2\pi )\to \mathbb{R}^2\),
\(\alpha (t)=(a\, \cos t,b\, \sin t)\), viene dada por
$$
e(t)=\left( \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t, \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t\right) ,\quad t\in [0,2\pi ).
$$
Esta última curva se llama la astroide, y es otro ejemplo de curva algebraica clásica; está relacionada con la cardioide, con quien comparte algunos aspectos de su proceso de generación a partir de un círculo que gira sobre otro. Para más información sobre la astroide, lee esto.
Para terminar con la evoluta, hablaremos un poco sobre su proceso «inverso»: Si \(\alpha \colon I\to \mathbb{R}^2\) es una curva p.p.a. y \(t_0\in I\), entonces la involuta de \(\alpha \) respecto a \(t_0\) es la curva \(\beta \colon I\to \mathbb{R}^2\) dada por
$$
\beta(t)=\alpha (t)+(t_0-t)\alpha'(t),\quad t\in I.
$$
Prueba que \(\beta \) es una curva diferenciable, pero no es regular (su regularidad falla en \(t=t_0\) y en los puntos donde la curvatura de \(\alpha \) se anula). Suponiendo que las curvaturas de \(\alpha \) y \(\beta \) son estrictamente positivas, prueba que la evoluta de \(\beta \) es la curva \(\alpha \). En este sentido, la evoluta y la involuta son procesos inversos.