Demostramos que si una variedad riemanniana de dimensión 2, completa, no compacta y orientable satisface además que: tiene curvatura no positiva y topologia finita y existe un rayo "que no admite tubos" alrededor de él, entonces este rayo pertenece a un final con curvatura total finita. También conjeturamos que si una superficie minimal inmersa en el espacio euclideo 3-dimensional tiene tipo topologico finito y ademas el area de las bolas extrínsecas es finita entonces es propia.