We consider the Chern connection of a quadratic Finsler manifold $(M,L)$ as a linear connection $\nabla^V$ on any open $\Omega\subset M$ associated to any vector field $V$ on $\Omega$ which is non-zero everywhere. This connection is torsion-free and almost metric compatible with respect to the fundamental tensor $g$. Then we show some properties of the curvature tensor $R^V$ associated to $\nabla^V$ and in particular we prove that the Jacobi operator of $R^V$ along a geodesic coincides with the one given by the Chern curvature. Finally we obtain the first and the second variation of the energy functional using $\nabla^V$ and $R^V$ and we deduce some properties of Jacobi fields. The most interesting aspect o f$\nabla^V$ and $R^V$ is that allow one to make computations intrinsically as in Modern Differential Geometry, being especially interesting for Riemannian geometers that want to learn Finsler geometry.

El objetivo de este par de charlas es introducir a un nivel básico algunos elementos de Geometría de Finsler, y explicar la relación entre una clase relevante de variedades de Finsler y una de espaciotiempos relativistas. En la primera parte se introducen las variedades de Finsler, detallándose el papel de los elementos vectoriales que aparecen punto a punto (normas de Minkowski). En particular, se introducen las variedades de Randers, que es la clase más típica de variedades de Finsler no reversibles. Se muestra entonces cómo existe una relación natural entre elementos de una variedad de Randers y de un espaciotiempo estacionario estándar, y cómo los resultados de una Geometría generan resultados, algunos sorprendentes, en la otra. La segunda parte se centra en los tipos de curvaturas definibles en una variedad de Finsler, con especial atención a la más importante de ellas, la curvatura bandera. En particular contaremos cómo se llegó a clasificar los espacios de Randers de curvatura bandera constante (el caso general es todavía un problema abierto). Veremos también cuáles de los teoremas clásicos de geometría global se pueden extender al caso Finsler. Entre ellos podemos citar los teoremas de Bonnet-Cartan, Gauss-Bonnet, Bonnet-Myers, Synge o el teorema de la esfera.

Dado un espaciotiempo estacionario estándar, las geodésicas luminosas se proyectan salvo reparametrización sobre geodésicas de una métrica de Finsler que llamamos "métrica de Fermat". Usando esta relación, demostramos diversos resultados de existencia y multiplicidad de rayos de luz, a través de la geometría de Finsler. Finalmente consideramos también las geodésicas temporales usando un truco de tipo Kaluza-Klein.