El establecimiento de resultados tipo Talenti para la simetrización de la solución de una ecuación de Poisson, planteada sobre un dominio regular $D$ en una variedad Riemanniana $(M,g)$, se encuentra estrechamente vinculado a la existencia de una desigualdad isoperimétrica satisfecha por los dominios de la variedad. Esta relación ha sido explorada previamente, tanto en el contexto compacto como en el no-compacto. Hasta la fecha, el conocimiento sobre comparaciones en espacios de curvatura negativa es limitado, más allá de lo establecido por McDonald (donde se prueba una comparación tipo Talenti en espacios hiperbólicos). La dificultad radica en que, en espacios de curvatura negativa, no se ha establecido una desigualdad isoperimétrica de forma general. Presentaremos un esquema de la demostración de una serie de comparaciones tipo Talenti para variedades Riemannianas completas y no compactas que cumplen una de las siguientes condiciones: • Poseen una constante isoperimétrica positiva. • Su perfil isoperimétrico está controlado en cierto sentido. Estas hipótesis son integradoras en el sentido de que, en el caso no compacto, engloban los contextos ya estudiados e incluyen además a las variedades de Cartan-Hadamard. Trabajo en colaboración con V. Gimeno.

Demostramos que si una variedad riemanniana de dimensión 2, completa, no compacta y orientable satisface además que: tiene curvatura no positiva y topologia finita y existe un rayo "que no admite tubos" alrededor de él, entonces este rayo pertenece a un final con curvatura total finita. También conjeturamos que si una superficie minimal inmersa en el espacio euclideo 3-dimensional tiene tipo topologico finito y ademas el area de las bolas extrínsecas es finita entonces es propia.