Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Es bien conocido que $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ para cualquier entero positivo $k$, luego podemos escribir \begin{align*} T_nT_{n+1}\cdots T_{n+15}&=\frac{n(n+1)^2(n+2)^2\cdots(n+15)^2(n+16)}{2^{16}}\\ &=n(n+16)\cdot \left(\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+15)}{2^{8}}\right)^2 \end{align*} La fracción anterior con denominador $2^8$ es un número entero ya que en su numerador habrá al menos siete factores pares y más de uno múltiplo de $4$. Por tanto, el problema se reduce a encontrar los naturales $n$ tales que $n(n+16)=a^2$ para cierto entero $a$. Completando el cuadrado, podemos escribir esta ecuación como $(n+8)^2-a^2=64$ o bien $(n+8-a)(n+8+a)=64$. Esto nos dice que $n+8-a$ y $n+8+a$ son potencias de $2$ cuyo producto es $64$. Además, como $n+8-a\lt n+8+a$, las únicas posibilidades son las tres siguientes: \begin{align*} n+8-a&=1&y&& n+8+a&=64,\\ n+8-a&=2&y&& n+8+a&=32,\\ n+8-a&=4&y&& n+8+a&=16. \end{align*} Resolviendo el sistema lineal que se obtiene en cada uno de los tres casos (con incógnitas $a$ y $n$), llegamos a que $1$ y $64$ no dan ninguna solución entera, $2$ y $32$ dan $n=9$ y $4$ y $16$ dan $n=2$. Deducimos que $n=2$ y $n=9$ son las únicas soluciones.