Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Por simplicidad, podemos suponer que $x,y\geq 0$ cambiándolos de signo si fuera necesario. Es bastante evidente la factorización $x^2-y^4=(x-y^2)(x+y^2)$ como diferencia de cuadrados, por lo que, para cada divisor positivo $d$ de $2009$ tenemos una potencial solución con $x-y^2=d$ y $x+y^2=\frac{2009}{d}$. Como $2009$ es impar, las soluciones de este sistema \[x=\frac{\frac{2009}{d}+d}{2},\qquad y^2=\frac{\frac{2009}{d}-d}{2}\] son números enteros, pero es necesario comprobar para qué elecciones de $d$ el segundo término $\frac{\frac{2009}{d}-d}{2}$ es un cuadrado perfecto. Para que sea positivo, además tendremos que $0\lt d\leq\sqrt{2009}\lt 45$, lo que nos deja solamente tres posibilidades:

• $d=1$ nos da $y^2=1004$, que no es un cuadrado perfecto.
• $d=7$ nos da $y^2=140$, que no es un cuadrado perfecto.
• $d=41$ nos da $y^2=4$, luego $y=2$ y $x=45$.

Finalmente, teniendo en cuenta que habíamos supuesto que las soluciones son positivas, deducimos que las soluciones enteras son $(-45,-2)$, $(-45,2)$, $(45,-2)$ y $(45,2)$.

Solución. Podemos factorizar \[n^{19}-n^7=n^7(n^{12}-1)=n\cdot n^6\,(n^6+1)(n^6-1).\] Observamos que $n^6-1$, $n^6$ y $n^6+1$ son tres enteros consecutivos, luego habrá uno de ellos múltiplo de $2$ y también habrá uno múltiplo de $3$. Por otro lado, si $n$ es múltiplo de $5$, el número también será múltiplo de $5$ puesto que tiene un factor $n$. Si $n$ no es múltiplo de $5$, entonces $n^2$ es congruente con $1$ o $4$ módulo $5$, luego $n^6=(n^2)^3$ congruente con $1^3=1$ (en cuyo caso $n^6-1$ es múltiplo de $5$) o con $4^3=64\equiv 4$ (en cuyo caso $n^6+1$ es múltiplo de $5$).

En todos los casos, hemos probado que $n^{19}-n^7$ es múltiplo de $2$, de $3$ y de $5$, luego es múltiplo de $30$.

Nota. El polinomio original se puede seguir factorizando, aunque no aporta nada esencial a la discusión. Una factorización completa sobre los enteros es: \[n^{19}-n^7=n^7(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)(n^4-n^2+1)\]

Solución. Probando con los sumandos más grandes posibles (para intentar minimizar el número de sumandos), llegamos a la siguiente descomposición: \[2009=1111+777+99+22.\] Si ahora trabajamos módulo $11$, observamos que los sumandos de dos y cuatro cifras son congruentes con $0$, mientras que los sumandos de tres cifras son congruentes con la cifra. Como $2009\equiv 7\ (\text{mod }11)$, las cifras de los números de tres cifras que usemos tienen que sumar $7$ o $18$ (si sumaran $25$ o más, nos pasaríamos ya que $25\cdot 111\gt 2009$). Si suman $18$, entonces tendríamos $18\cdot 111=1998$, que nos dejaría $9$ unidades de margen y no pueden obtenerse con otros sumandos puesto que no está permitido usar sumandos de una cifra. Tenemos así que $777$ tiene que ser el único sumando de tres cifras en cualquier descomposición que hagamos de $2009$ con el menor número de sumandos (ya que podríamos descomponer, por ejemplo, $777=444+333$). También tiene que ser necesariamente $1111$ otro sumando ya que no podemos obtener $2009-777=1232$ si sumamos solamente números de dos cifras distintos (tenemos que $11+22+\ldots+99=495\lt 1232$). Teniendo ahora en cuenta que $2009-777-1111=121$ tiene que expresarse como suma de (dos) números de dos cifras, obtenemos fácilmente las únicas cuatro descomposiciones que usan cuatro sumandos: \begin{align*} 2009&=1111+777+99+22,&2009&=1111+777+88+33,\\ 2009&=1111+777+77+44,&2009&=1111+777+66+55. \end{align*} Cualquier otra descomposición se obtiene reordenando sumandos o bien tienen al menos cinco sumandos.

Solución. El polinomio $x^5+x+1$ no tiene raíces enteras pero puede factorizarse como producto de un polinomio de grado $3$ por otro de grado $2$. Para ello, pongamos \begin{align*} x^5+x+1&=(x^3+ax^2+bx+c)(x^2+ex+f)\\ &=x^5+(a+e)x^4+(b+ae+f)x^3+(c+be+af)x^2+(ce+bf)x+cf. \end{align*} Igualando coeficientes, tenemos en primer lugar que $cf=1$, luego pondremos $c=f=1$ ya que buscamos coeficientes enteros (si no nos sale, deberíamos probar con la otra opción $c=f=-1$). Entonces, nos queda que $a+e=0$, $b+ae=-1$, $a+be=-1$ y $e+b=1$. Podemos sustituir entonces $a=-e$ y $b=1-e$ en $b+ae=-1$ para llegar a que $1-e-e^2=-1$, ecuación que tiene soluciones $e=1$ y $e=-2$. Con $e=1$, tenemos $a=-1$ y $b=0$, que cumplen la ecuación restante ($a+be=-1$) y nos dan la factorización deseada: \[x^5+x+1=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1).\] Esto nos dice que el número original se puede factorizar (con $x=2^m$) como \[2^{5m}+2^m+1=(2^{3m}-2^{2m}+1)(2^{2m}+2^{m}+1).\] Está claro que $2^{3m}-2^{2m}\gt 0$ (puesto que $m\gt 0$), luego el primer factor no es $\pm 1$. Tampoco lo es el segundo (ya que es mayor que $1$), luego el número $2^{5m}+2^m+1$ es compuesto para todo entero $m\geq 1$.

Solución. Comencemos con el segundo sumando. Como $2222\equiv 3\ (\text{mod }7)$, tenemos que $2222^{5555}\equiv 3^{5555}\ (\text{mod }7)$. Ahora bien, para simplificar el exponente que, trabajando módulo $7$, tenemos que $3^1\equiv 3$, $3^2\equiv 2$, $3^3\equiv 6$, $3^4\equiv 4$, $3^5\equiv 5$ y $3^6\equiv 1$. Hemos llegado a una potencia que es congruente con $1$. Ahora si dividimos $5555$ entre $6$ obtenemos que $5555=925\cdot 6+5$, luego \[2222^{5555}\equiv 3^{5555}=(3^6)^{925}\cdot 3^5\equiv 1^{925}\cdot 5\equiv 5\ (\text{mod }7).\]

De la misma manera, se comprueba que $5555\equiv 4\ (\text{mod }7)$, luego $5555^{222}\equiv 4^{2222}\ (\text{mod }7)$. Tenemos que $4^1\equiv 4$, $4^2\equiv 2$ y $4^3\equiv 1$ módulo $7$, y hacemos la división euclídea de $2222$ entre $3$, que nos da $2222=740\cdot 3+2$. Por tanto, \[5555^{2222}\equiv 4^{2222}=(4^3)^{740}\cdot 4^2\equiv 1^{740}\cdot 2\equiv 2\ (\text{mod }7).\] Esto nos da finalmente el resultado deseado: \[2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\ (\text{mod }7).\]