Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si escribimos $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=n$, como $x$ e $y$ son enteros, existirá un divisor $d$ de $n$ tal que $x+y=d$ y $x-y=\frac{n}{d}$. Este sistema de ecuaciones con la suma y la diferencia se resuelve fácilmente dando lugar a \[x=\frac{d+\frac{n}{d}}{2},\qquad y=\frac{d-\frac{n}{d}}{2}.\] Obtenemos así que no vale cualquier divisor de $n$ sino que $d$ y $\frac{n}{d}$ deben tener la misma paridad (en caso contrario, el denominador $2$ en las soluciones anteriores no se puede eliminar) y además $d\gt\frac{n}{d}$ (en caso contrario tendríamos una solución con $y$ negativa). Llamemos $D(n)$ al número de divisores de $n$ y distingamos varios casos:

• Si $n$ es impar, entonces $d$ y $\frac{n}{d}$ son ambos impares. Si $n$ no es cuadrado perfecto, entonces la condición $d\lt\frac{n}{d}$ ocurrirá para la mitad de divisores, luego $\lambda(n)=\frac{1}{2}D(n)$. Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces hay que excluir el caso $d=\sqrt{n}$ antes de dejar la mitad de divisores, luego $\lambda(n)=\frac{1}{2}(D(n)-1)$.
• Si $n$ es par pero no múltiplo de $4$, entonces $d$ y $\frac{n}{d}$ tienen necesariamente distinta paridad, luego $\lambda(n)=0$.
• Si $n$ es múltiplo de $4$, entonces podemos asignar previamente uno de los factores $2$ a $d$ y otro a $\frac{n}{d}$ para que los dos sean pares y repartir los restantes entre $d$ y $\frac{n}{d}$. Razonando de forma análoga al primer caso, tenemos que $\lambda(n)=\frac{1}{2}D(\frac{n}{4})$ si $n$ es no es cuadrado perfecto y $\lambda(n)=\frac{1}{2}(D(\frac{n}{4})-1)$ si lo es.

Si factorizamos $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ como producto de potencias de primos distintos, es bien conocido que $D(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$. Vamos a ver cuál es el menor valor de $n$ en cada uno de los cuatro casos que nos da la discusión anterior y luego analizaremos cuál es el menor y el menor impar.

• Si $n$ es impar y no es cuadrado, tenemos que resolver $D(n)=2\cdot 2021=2\cdot 43\cdot 47$, luego el menor valor posible es $n=3^{46}5^{42}7$ ya que $3,5,7$ son los primos más pequeños (impares) emparejados con los exponentes en orden opuesto.
• Si $n$ es impar y cuadrado, tenemos que resolver $D(n)=2\cdot 2021+1=4043=13\cdot 311$, luego el menor valor es $n=3^{310}5^{12}$.
• Si $n$ es par (múltiplo de $4$) y no es cuadrado, tenemos $D(\frac{n}{4})=2\cdot 2021=2\cdot 43\cdot 47$, luego el menor valor posible es $n=4\cdot 2^{46}3^{42}5=2^{48}3^{42}5$.
• Si $n$ es par (múltiplo de $4$) y cuadrado, tenemos $D(\frac{n}{4})=2\cdot 2021+1=4043=13\cdot 311$, luego el menor valor posible es $n=4\cdot 2^{310}3^{12}=2^{312}3^{12}$.

De entre los cuatro números elegidos, el menor es $2^{48}3^{42}5$ y el menor impar es $3^{46}5^{42}7$ (¿sabrías justificar rigurosamente por qué?).

Nota. Un punto técnico de esta solución es la factorización de 4043. No debería haber problema en preguntar a los examinadores por tal factorización; en caso de no darla, habría que probar a dividir $4043$ entre los primos desde $3$ a $61$ (que es el más cercano por defecto a $\sqrt{4043}$). Al encontrar así el factor $13$, habría que probar de nuevo desde $3$ a $17$ (que es el más cercano por defecto a $\sqrt{313}$).

Solución. Supongamos que $n\equiv 2\ (\text{mod }3)$ y $d$ es un divisor suyo. Como $d$ no puede ser múltiplo de $3$ (en tal caso, $n$ también lo sería), llegamos a que $d\equiv 1\ (\text{mod }3)$ o bien $d\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Su divisor complementario $\frac{n}{d}$ tiene que cumplir $\frac{n}{d}\equiv 2\ (\text{mod }3)$ o bien $\frac{n}{d}\equiv 1\ (\text{mod }3)$, respectivamente, para que $d\cdot\frac{n}{d}=n\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Por tanto, tenemos que $d+\frac{n}{2}\equiv 1+2\equiv 0\ (\text{mod }3)$.

De esta manera, en la suma de divisores, tras agrupar cada divisor con su complementario, tendremos una suma de múltiplos de $3$ y hemos resuelto el problema. Sin embargo, queda por ver que todos los divisores están emparejados, lo cual es cierto a no ser que $n$ sea un cuadrado perfecto (en cuyo caso $d=\sqrt{n}$ coincide con su complementario $\frac{n}{d}=\sqrt{n}$). Como todo cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $3$, este caso no se da nunca.

Solución. Pongamos que el polígono tiene $n$ lados y escribamos sus ángulos internos como $a,a+d,\ldots,a+(n-1)d$, siendo $d$ la diferencia de la progresión aritmética. Como la suma de los ángulos internos de un $n$-gono es $180(n-2)$ (ya que se puede triangularse en $n-2$ triángulos), deducimos que \[180(n-2)=a+(a+d)+\ldots+(a+(n-1)d)=na+\frac{n(n-1)}{2}d.\] Por tanto, tenemos que resolver la ecuación diofántica \[360(n-2)=2na+n(n-1)d\ \Leftrightarrow\ (360-2a-(n-1)d)n=720.\] Esto acota los valores de $n$ a los divisores de $720$ (mayores o iguales que $3$). Además, para que el polígono sea convexo, sus ángulos tienen que ser menores que $180$, lo que nos dice que el mayor ha de serlo, es decir, $a\lt 180-(n+1)d$. Sustituyendo en la ecuación diofántica, la convexidad se traduce en que $720=(360-2a-(n-1)d)n\gt n(n-1)d\geq n(n-1)$, donde hemos usado que $d\geq 1$ porque nos dicen que no todos los ángulos son iguales. Esto último se traduce en que $3\leq n\leq 27$.

La idea ahora es que, para cada divisor $3\leq n\leq 27$, estudiaremos si existe un par de enteros positivos $(a,d)$ verificando la ecuación diofántica lineal $2a+(n-1)d=360+\frac{720}{n}$. Distinguimos dos casos:

• Si $n=2k$ es par, entonces $\mathrm{mcd}(2,n-1)=1$, luego la ecuación tiene soluciones enteras (no sabemos aún si positivas). De hecho, podemos expresar $1=2k-(2k-1)$, luego tenemos una solución particular de la ecuación dada por $a_0=k(360+\frac{720}{n})=180n+360$ y $d_0=-360-\frac{720}{n}$. Todas las soluciones serán, en términos de un parámetro entero $j$, \[a=180n+360-(n-1)j,\qquad d=-360-\frac{720}{n}+2j.\] Para que ambos sean positivos, tendremos que $180n+360-(n-1)j\gt 0$ y $-360-\frac{720}{n}+2j\gt 0$, lo que nos da la acotación \[180\frac{n+2}{n}\lt j\lt 180\frac{n+2}{n-1},\] que también se puede escribir como \[180+\frac{360}{n}\lt j\lt 180+\frac{540}{n-1}.\] Una condición suficiente para que haya una solución entera $j$ es si aseguramos que $\frac{540}{n-1}\gt\frac{360}{n}+1$, que equivale a $360 + 181 n - n^2\geq 0$. Esta última desigualdad se cumple siempre para $3\leq n\leq 27$.