Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un número natural. Si la última cifra de $7^n$ es $3$, probar que la penúltima es $4$.

Sean $a\geq 1$ y $b\geq 1$ números naturales cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por $D$ y $M$, respectivamente. Demostrar que \[D^2+M^2\geq a^2+b^2.\]

Para cada entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ tiene la propiedad P si los términos de la sucesión infinita \[\{n,S(n), S(S(n)), S(S(S(n))),\ldots\}\] son todos pares, y decimos que $n$ tiene la propiedad I si son todos impares. Demostrar que entre todos los enteros positivos $n$ tales que $1\leq n\leq 2017$ son más los que tienen la propiedad I que los que tienen la propiedad P.

Sea $p$ un número primo impar y sea \[S_q=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\ldots+\frac{1}{q(q+1)(q+2)},\] donde $q=\frac{3p-5}{2}$. Escribimos $\frac{1}{p}-2S_q$ en la forma $\frac{m}{n}$ siendo $m$ y $n$ enteros. Demostrar que $m\equiv n\ (\text{mod }p)$, es decir, $m$ y $n$ dan el mismo resto al ser divididos por $p$.

Determinar todos los números naturales $n$ para los que existe algún número natural $m$ verificando simultáneamente las siguientes dos propiedades:

• El número $m$ tiene al menos dos cifras (en base 10), todas son distintas y ninguna es $0$.
• El número $m$ es múltiplo de $n$ y cualquier reordenación de sus cifras da lugar a un múltiplo de $n$.