Una superficie mínima tiene borde libre en la bola unidad $\mathbb{B}$ de $\mathbb{R}^3$ si intersecta ortogonalmente a $\partial \mathbb{B}$ a lo largo de su borde. En 1985 Nitsche construyó un anillo mínimo con borde libre en $\mathbb{B}$, tomando una cierta porción compacta de un catenoide; el llamado catenoide crítico. En dicho trabajo, Nitsche anunció sin demostración la unicidad topológica de este ejemplo, afirmando que todo anillo mínimo con borde libre inmerso en $\mathbb{B}$ debería ser el catenoide crítico. El objetivo de esta charla es probar que esta unicidad no es cierta. Para ello, construiremos una nueva familia de anillos mínimos con borde libre inmersos en $\mathbb{B}$, y explicaremos su geometría. Dichos ejemplos nunca están embebidos. También construiremos anillos mínimos, esta vez embebidos, que intersectan con ángulo constante a $\partial \mathbb{B}$ a lo largo de su borde, lo cual da una respuesta negativa a un problema planteado por Wente en 1995. Trabajo en colaboración con Isabel Fernández y Laurent Hauswirth.

Un famoso teorema de Hopf establece que toda esfera de curvatura media constante en \(\mathbb{R}^3\) es una esfera redonda. En esta charla generalizaremos el teorema a clases de superficies gobernadas por EDPs elípticas sobre cada plano tangente en 3-variedades arbitrarias, con la única hipótesis de la existencia de una familia transitiva de superficies candidatas. Así, probamos que toda esfera en estas condiciones es una esfera de la familia de candidatos. Como aplicación, demostraremos una conjetura de 1956 de A.D. Alexandrov sobre la unicidad de esferas de curvaturas predeterminadas en \(\mathbb{R}^3\) , y completaremos la caracterización de las esferas redondas como las únicas esferas de Weingarten elípticas en \(\mathbb{R}^3\). Este es un trabajo con José A. Gálvez.

Conferencia dentro del programa de doctorado Interuniversitario de Matemáticas con la colaboración del GENIL

Conferencia dentro del programa de doctorado Interuniversitario de Matemáticas con la colaboración del GENIL

We give local and global classification results for surfaces of positive constant curvature in $\mathbb{R}^3$ in the presence of isolated singularities. In particular, we will prove removable singularity theorems, we will describe the space of local immersions of constant curvature around a conical singularity, and we will provide some applications to harmonic maps and CMC surfaces of the classification of peaked spheres, i.e. compact convex surfaces of constant positive curvature with a finite number of singularities.
This is a joint work with J.A. Galvez and L. Hauswirth.

A classical problem in the regularity theory of geometric PDEs concerns the study of regular solutions on a punctured disc. For some cases such as the minimal surface equation or other much more general elliptic geometric equations in divergence form, isolated singularities are automatically removable. This is also true for suitable concepts of generalized solutions of many other elliptic PDEs.
Nonetheless, some geometric PDEs like the elliptic Monge-Ampère equation describing graphs of constant curvature
$u_{xx}u_{yy} - u_{xy}^2 = K(1+u_x^2+u_y^2)^2$, $K>0$
admit non-removable conical singularities. That is, they admit solutions on a punctured disc that extend continuously but not C¹-smoothly to the puncture. For them, the usual regularity theory of generalized solutions is not applicable.
In this talk we shall explain how to deal with geometric PDEs in presence of non-removable isolated singularities. Using methods from complex analysis, geometry and elliptic PDEs, we will provide a local classification result in terms of the limit normal cone at the singularity. In the global case, we shall expose different classification results for solutions of special geometric PDEs in the presence of an arbitrary number of conical singularities.

En esta charla abordamos el problema de clasificar los grafos enteros minimales dentro del espacio de Heisenberg riemanniano 3-dimensional $\mathrm{Nil}_3$. Veremos cómo el espacio de tales grafos enteros minimales es una clase amplísima, y describiremos una parametrización para él en términos de diferenciales cuadráticas holomorfas definidas en el plano complejo o en el disco unidad. La clave para dicha resolución del problema de Bernstein en $\mathrm{Nil}_3$ reside en la construcción previa de una aplicación de Gauss armónica sobre el disco de Poincaré para la teoría "hermana" de superficies de curvatura media constante $H=1/2$ dentro del espacio producto $H^2\times \mathbb{R}$.