Organizado por Institute of Mathematics of UGR (IMAG) en colaboración con Seminario de Ecuaciones Diferenciales de la UGR (SDE).

RESÚMENES

Claudia García: Patterns and equilibria in incompressible fluids.

El movimiento de un fluido incompresible uniforme se describe mediante las ecuaciones de Navier-Stokes y, en su régimen invisible, mediante las ecuaciones de Euler. En el caso bidimensional, las ecuaciones de Euler en la formulación de vorticidad contienen muchos equilibrios relativos interesantes: soluciones estacionarias, rotativas y de traslación. La teoría de la bifurcación surge naturalmente en el estudio de muchas EDP, que se pueden caracterizar por una ecuación implícita de la forma F(λ,x) = 0 (1), donde λ ∈ R y x pertenecen a un espacio de Banach de dimensión infinita. En esta charla, aprovecharemos esta teoría para revisar la existencia de diferentes tipos de soluciones: estados V, vórtices rotatorios no uniformes o soluciones del tipo Karman Vortex Street, entre otras. Todas esas dinámicas simplificadas están gobernadas por una ecuación no lineal y no local de tipo (1).

Joan Mateu: On the analyticity of the trajectories of the particles in the patch problem for some active scalar equations.

Sea Ω un dominio acotado en Rn cuyo límite sea C1,γ para γ ∈ (0,1). Considere la ecuación de Euler 2D para la vorticidad o la ecuación de agregación n-D en el caso de que la condición inicial sea un múltiplo positivo de la función característica de Ω. En esta charla se discute la analiticidad global en el tiempo del flujo generado por el campo de velocidades que propaga la solución de vorticidad o densidad respectivamente. Estos resultados se obtienen a partir de un estudio detallado de la transformada de Beurling o Riesz, que representa derivadas del campo de velocidades. Las estimaciones precisas obtenidas para las soluciones de una ecuación satisfecha por el flujo lagrangiano, son un punto clave en el desarrollo.

Zineb Hassainia: On the desingularization of time-periodic vortex motion for the planar Euler equation.

En esta charla, discutiré la dinámica de vórtices en las ecuaciones planas de Euler, centrándome en dos aspectos clave. En primer lugar, presentaré una derivación rigurosa de cuartetos saltarines de parches de vórtice concentrados cerca de equilibrios relativos periódicos en el tiempo singulares del sistema de vórtice puntual, utilizando la teoría KAM. En la segunda parte, mostraré cómo extender estas técnicas para dessingularizar órbitas de vórtice periódicas en el tiempo cuando la ecuación de Euler se establece en un dominio genérico acotado simplemente conectado. Específicamente, podemos probar que para un vórtice de un solo punto, bajo ciertas condiciones de no degeneración, es posible dessingularizar la mayoría de estas trayectorias en parches de vórtice concentrados periódicos en el tiempo.