José Pedro Moreno: “Triángulos de Kobon”

Ponente: José Pedro Moreno Díaz. Universidad Autónoma de Madrid.

Título: Triángulos de Kobon

Resumen: En esta charla nos ocupamos de un problema de geometría elemental propuesto por Kobon Fujimura en su último libro de pasatiempos aunque, en un contexto ligeramente distinto, había sido considerado antes por Branko Grünbaum en una monografía sobre configuraciones de líneas:
¿Cuál es el numero máximo de triángulos sin solapamiento que pueden formarse con \(n\) rectas (o sencillamente \(n\) segmentos) en el plano?
La solución, que denotamos mediante \(K(n)\), se conoce para los primeros naturales hasta \(9\), para \(n=13, 15, 17\) y para dos sucesiones definidas de manera recursiva.
Saburo Tamura probó que \(K(n) ≤ n(n-2)/3\) y esa estimación fue refinada más tarde por Gilles Clement y Johannes Bader. De ahí se deduce, por ejemplo, que \(K(10)\leq 26\), aunque no se ha encontrado ninguna configuración que confirme ese valor. En cuanto a las cotas inferiores, una elegante construcción obtenida por Füredi y Pálasti prueba que \(n(n-3)/3 ≤ K(n)\). Durante la charla se expondrán estos resultados junto con alguna de las ideas que hay detrás de las acotaciones.