Construiremos soluciones aproximadas para ciertos problemas de tipo Riemann-Hilbert para curvas nulas holomorfas en $\mathbb{C}^3$. Como aplicación, probaremos que toda superficie de Riemann bordeada embebe propiamente en una bola de $\mathbb{C}^3$ como curva nula holomorfa completa; en particular, es la estructura de conforme de una superficie mínima en $\mathbb{R}^3$ completa y acotada. Construiremos además curvas nulas propiamente embebidas en $\mathbb{C}^3$ con una coordenada acotada, y derivaremos la existencia de curvas nulas propiamente embebidas en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ y de superficies de Bryant propiamente inmersas en $\mathbb{H}^3$ conformemente equivalentes a cualquier superficie de Riemann bordeada dada. Trabajo conjunto con Franc Forstneric.

I will show the first example of a complete bounded embedded complex curve in $\mathbb{C}^2$. Joint work with Francisco J. López.

Se discutirá cómo construir un ejemplo.

Discutiremos sobre la existencia o no de difeomorfismos armónicos entre diferentes dominios de la esfera euclídea de dimensión 2. Trabajo en colaboración con Rabah Souam.
arXiv:1108.1960v2 [math.DG]

Por resultados clásicos de Remmert, Narasimhan y Bishop, toda superficie de Riemann admite una inmersión propia y holomorfa en $\mathbb{C}^2$, y un embebimiento propio y holomorfo en $\mathbb{C}^3$. En 1990 Bell y Narasimhan conjeturaron que, de hecho, toda superficie de Riemann embebe en $\mathbb{C}^2$ de forma propia y holomorfa. Esta conjetura sigue abierta en la actualidad. En esta charla discutiremos sobre la conjetura de Bell-Narasimhan y, si el tiempo lo permite, mostraremos que la topología de la superficie no tiene influencia sobre este problema.
Trabajo conjunto con Francisco J. López disponible en arXiv:1104.1893v1 [math.CV]

Hasta los años ochenta, era un pensamiento bastante extendido que las superficies de tipo hiperbólico jugaban un papel marginal en la teoría global de superficies mínimas. Sin embargo las construcciones de Jorge-Xavier en 1980 y Nadirashvili en 1996 han servido de inspiración para la prueba de teoremas muy generales de existencia de superficies mínimas, completas y de tipo hiperbólico. En esta charla discutiremos las últimas técnicas de construcción de tales superficies y mostraremos algunas aplicaciones.

On the one hand, given an open Riemann surface $\mathcal{N}$ and a real number $\theta \in ]0,\pi/4[$, we construct a conformal minimal immersion $X = (X_1, X_2, X_3): \mathcal{N} \to \mathbb{R}^3$ such that $X_3 + \tan \theta |X_1|: \mathcal{N} \to \mathbb{R}$ is positive and proper. Furthermore, $X$ can be chosen with arbitrarily prescribed flux map. This construction if related with a problem posed by Shoen and Yau. On the other hand, we produce properly immersed hyperbolic minimal surfaces with empty boundary in $\mathbb{R}^3$ lying above a negative sublinear graph. This construction can be linked to a conjecture by Meeks.
The main tool used in the construction of the above examples is an approximation theorem by minimal surfaces. We will also remark some other applications of this result.

En principio, las superficies minimales completas parecen estar alejadas del significado original de superficie minimal, esto es, soluciones del problema de Plateau. El estudio de las superficies minimales completas y acotadas ha establecido una sorprendente relación entre ellas y el problema de Plateau: la existencia de superficies minimales completas y con borde en R3. Este tipo de superficies son muy numerosas: existen ciertos teoremas de densidad. Por otro lado, condiciones sobre el conjunto límite dan lugar a teoremas de no existencia.