Curso de Geometría Riemanniana

Curso de Geometría Riemanniana impartido por Francisco Urbano.

Horario: Martes 11:00-13:00h y Miércoles 16:00-18:00h

CONTENIDO

CAPÍTULO 0: INTRODUCCIÓN DE LA NOTACIÓN Y REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS. Métricas de Riemann. Isometrías. Conexión de Levi-Civita. Curvaturas. Geodésicas. Aplicación exponencial. Distancia asociada a la métrica. Completitud. Teorema de Hopf-Rinow.

CAPÍTULO I: VARIEDADES RIEMANNIANAS DE CURVATURA CONSTANTE. Teorema de Cartan. Clasificación de variedades Riemannianas completas simplementes conexas de curvatura constante. Algunos comentarios sobre el caso no simplemente conexo. Teorema de Obata.

CAPÍTULO II: TEOREMA DE ÍNDICE DE MORSE. Fórmulas de variación de la energía. Nulidad. Campos de Jacobi. Teorema de Cartan-Hadamard. Indice: demostración del teorema del índice de Morse. Teoremas de Jacobi.

CAPÍTULO III: TEOREMAS DE COMPARACIÓN. Teorema de comparación de Morse-Schoenberg. Teorema de Bonnet-Myers. Teorema de Weinstein. Teorema de Synge.

CAPÍTULO IV: LUGAR DE CORTE Y RADIO DE INYECTIVIDAD. Lugar de corte de un punto en una variedad Riemanniana. Propiedades. Radio de inyectividad de una variedad Riemanniana. Propiedades. Teorema de Klingenberg.

CAPÍTULO V: INTEGRACIÓN EN VARIEDADES RIEMANNIANAS. Repaso de integración y principales propiedades: fórmula del cambio de variables, teorema de la divergencia. Fórmula de Bochner. Aplicaciones: relación de los campos de Killing y las 1-formas armónicas con el tensor de Ricci. Teorema de Lichnerowicz.

CAPÍTULO VI: TEOREMAS DE BISHOP. Fórmula de integración en coordenadas polares. Primer y segundo teoremas de comparación de Bishop. Teorema de Gromov. Teorema de Topogonov.

CAPÍTULO VII: FÓRMULAS DEL ÁREA Y DE LA COÁREA. Fórmula del área. Fórmula de Crofton. Teorema de Fenchel. Teorema de Fary-Milnor. Fórmula de la coárea. Teorema de Cheeger. Teorema de McKean. Las constantes de Sobolev e isoperimétrica. Teorema de Federer-Fleming.