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Título: Curvatura en placas empotradas

Conferenciante: Andrés Mauricio Salazar Rojas (Pontificia Universidad Javeriana Cali, Colombia)

Resumen: .Si se aplica una distribución de fuerzas $f$ sobre una placa sujeta por su borde esta experimenta una deflexión $u$, que se entiende como la altura de cada punto de la placa con respecto de la posición inicial. Dicha deflexión se puede modelar mediante el siguiente problema elı́ptico de cuarto orden: $$ \begin{cases} \Delta^2 u = f \quad & \text{en $\Omega$,}\\ u = \partial_\nu u = 0 \quad & \text{en $\partial \Omega$}, \end{cases} $$ donde $\Delta^2 \equiv \Delta(\Delta)$ es el operador biarmónico, $\Omega$ es un dominio planar, $\partial\Omega$ es su frontera y $\partial_\nu u$ denota la derivada de la función $u$ en la dirección de la normal exterior a la curva $\partial\Omega$. El problema de existencia, unicidad y regularidad de soluciones del problema (1) está resuelto en el caso en que $f$ sea una función real analı́tica [4].

A diferencia de los problemas elı́pticos de segundo orden, no existe una clara relación entre el signo de $f$ y el signo de $u$, esto como una consecuencia del principio del máximo. Más aún se pueden encontrar dominios $\Omega$, elı́pticos de gran excentricidad, en donde $u$ cambia de signo y presenta mı́nimos y máximos locales al interior de $\Omega$, aunque $f$ sea una función no negativa y no nula en $\Omega$ [6]. En algunos dominios como la bola [2] y ciertos tipos de limaçones [3], $u$ preserva el signo del dato $f$. Dominios con esta propiedad serán conocidos a lo largo de la presentación como dominios PPS, esto es:

Definición (Propiedad de Preservar Signo (P P S)). Diremos que en el problema (1) el dominio $\Omega$ es PPS, si $f \geq 0$ ($f \leq 0$) en $\Omega$ implica que $u \geq 0$, ($u \leq 0$) en $\Omega$.

La expresión para la curvatura de la curva de nivel de una función real $w \in C^2(\Omega)$ viene dada por: $$ k(x) = \frac{H_\omega(x) \theta(x) \cdot \theta(x)}{|\nabla u(x)|}, $$ en donde $H_\omega$ corresponde con la matriz Hessiana de $\omega$ y $\theta(x)$ es la dirección tangente a la curva de nivel en $x$. Note que si $\omega$ es la solución del problema (1) la condición $\partial_\nu w \big\vert_{\partial\Omega} = 0$ implica que la función curvatura no esta definida en la frontera $\partial\Omega$.

El objetivo de la charla es probar que la función curvatura (2) de las curvas del nivel de la solución $u$ del problema (1) se puede extender de manera continua a la frontera $\partial\Omega$ en el caso en que $\Omega$ sea cierto tipo de dominios PPS y $f$ sea una función real analı́tica en $\Omega$.

Referencias

  1. Arango, J., Gómez, A., & Salazar, A. (2014). Critical points and curvature in circular clamped plates. Electronic Journal of Differential Equations, 2014(218), 1-13.
  2. T. Boggio. Sulle funzioni di Green d'ordinem. Rend. Circ. Mat.Palermo, 20:97-135, 1905.
  3. A. Dall'Acqua and G. Sweers, The clamped-plate equation for the limacon, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 184 (2005), no. 3, 361-374. MR 2164263 (2006i:35066)
  4. Filippo Gazzola, Hans-Christoph Grunau and Guido Sweers. Polyharmonic Boundary Value Problems: Positivity Preserving and Nonlinear Higher Order Elliptic Equations in Bounded Domains. Springer, 1 edition, 2010.
  5. Lawlor, G. R. (2012). A L'hospital's rule for multivariable functions. arXiv preprint arXiv:1209.0363.
  6. H. Shapiro. T. Tegmark. An elementary proof that the biharmonic Green function of an eccentric ellipse changes sign. Soc. Ind. App. Math. Rev, 36:99–101, 1994.

5 de diciembre de 2016, 13:10, Seminario 1ª planta IEMath-GR

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