DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: BINOMIAL, POISSON Y NORMAL

 

Objetivos

1. Identificar distribuciones
2. Calcular probabilidades de distribuciones
   • Función masa de probabilidad
   • Función de distribución
3. Calcular cuantiles
4. Generar valores aleatorios de una distribución determinada.

---

Introducción

En la teoría de la probabilidad existen muchos modelos teóricos que resultan de utilidad en una gran variedad de situaciones prácticas. En esta práctica se consideran tres modelos teóricos: Binomial, Poisson y Normal. Para cada uno de ellos se obtiene la función masa de probabilidad, la función de distribución y se calculan cuantiles. Por último, se genera una muestra aleatoria de un modelo determinado.

IMPORTANTE: Para ello es necesario activar el Editor de datos, es decir, abrir algún fichero de datos o bien introducir algún número en una casilla, de otra forma aparece el siguiente mensaje de error.

Introducimos un número en una casilla, por ejemplo el número 1

A continuación, se elige en el menú principal Transformar/Calcular variable… como resultado de esta acción se muestra el siguiente Cuadro de diálogo

Donde se pueden realizar las siguientes acciones:

• Calcular valores para las variables numéricas o de cadena (alfanuméricas).
• Crear nuevas variables o bien reemplazar los valores de las variables existentes. Para las nuevas variables, también se puede especificar el tipo y la etiqueta de variable.
• Calcular valores de forma selectiva para subconjuntos de datos basándose en condiciones lógicas.
• Utilizar más de 70 funciones preincorporadas, incluyendo funciones aritméticas, funciones estadísticas, funciones de distribución y funciones de cadena.

o bien expresiones predeterminadas que están incluidas en SPSS, que se accede a ellas a través de Funciones y variables especiales, habiendo elegido previamente algún Grupo de funciones. Entre estas funciones se encuentran aquellas que se van a utilizar para calcular probabilidades, percentiles y generación de números aleatorios de determinados modelos teóricos de probabilidad; concretamente los modelos Binomial, Poisson y Normal.

---

Función masa de probabilidad

Una variable aleatoria no está perfectamente definida si no se conocen los valores que puede tomar (recorrido), pero dichos valores son impredecibles. Puesto que el comportamiento de una variable aleatoria está gobernado por el azar, debemos determinar dicho comportamiento en términos de probabilidades. Para ello se utilizan dos funciones: la Función Masa de Probabilidad y la Función de Distribución.

La función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función que a cada valor posible de dicha v.a. le asigna una probabilidad. Así en los ejemplos:

• Ejemplo. La v.a. X = “Cara superior de una moneda ” puede tomar los valores X={1, 0} con probabilidades P(X)={1/2, 1/2}. Así, la probabilidad de que la v.a.
  • X tome el valor 1, que se denota por P[X=1], vale 1/2 (P[X=1]=1/2) y que
  • X tome el valor 0, que se denota por, P[X=0], vale 1/2 (P[X=0]=1/2).
• Ejemplo. La v.a. X = “Máximo de los dos números obtenidos al tirar dos dados” puede tomar los valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con probabilidades P(X)={1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36}. Así, por ejemplo, P[X=2]=3/36 o P[X=6]=11/36.

la Función Masa de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X, se denota por p_i, y se define como la probabilidad de que la v.a. X tome un valor x_i,  p_i=P[X=x_i], si verifica las siguientes propiedades:

•  
• p_i ≥ 0 ∀i

En una variable aleatoria continua no tiene sentido determinar una función, como en las vv.aa. discretas, que asigne a cada valor posible de dicha v.a. una probabilidad; puesto que la v.a. continua puede tomar infinitos valores y la probabilidad de que la v.a. tome un valor determinado vale cero. Por ello, en el caso continuo definiremos una función que nos permita calcular la probabilidad de que la v.a. esté comprendida en un intervalo de valores específico. Dicha función recibe el nombre de Función de Densidad de probabilidad, y se denota por  f(x).

La Función de Densidad de probabilidad, es una función definida para todos los números reales tal que satisface las siguientes condiciones:

1. f(x) ≥ 0  (no negativa)∀x
2. (El área comprendida entre la gráfica de f y el eje x es igual a 1)
3. (Para cualquier valor real entre los números a y b,  P[a < X < b] representa el área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x=a y x=b).

Para obtener, en SPSS, valores de la función masa de probabilidad y de la función de densidad de probabilidad de una distribución específica, una vez seleccionado en el menú principal Transformar/Calcular Variable, en el cuadro de diálogo se selecciona, en Grupo de funciones, la opción FDP y FDP no centrada.

Esta opción, FDP y FDP no centrada, dado un valor de la variable, permite obtener:

• Si la v.a. es discreta, la probabilidad de que la variable sea igual a dicho valor en el modelo especificado. Se necesita conocer el valor de la variable y los parámetros que determinan al modelo.

• Si la v.a. es continua, la densidad de probabilidad del modelo especificado, en el caso de la distribución Normal, con la media y desviación típica especificadas.

 En Funciones y variables especiales se selecciona la distribución correspondiente:

• PDF.BERNUOILLI(c, prob): Numérico. Devuelve como resultado la probabilidad de que  un valor de la distribución de Bernouilli, con el parámetro de probabilidad dado sea igual a c, es decir la probabilidad de que la variable X sea igual a c, P[X = c], siendo X una variable aleatoria con distribución Bernouilli de parámetros 1 y prob. 

• PDF.BINOM(c, n, prob): Numérico. Devuelve como resultado la probabilidad de que el número de éxitos en n ensayos, con probabilidad de éxito p en cada uno de ellos, sea igual a c. Es decir, la probabilidad de que la variable X sea igual a c, P[X = c], siendo X  una variable aleatoria con distribución Binomial de parámetros n y prob. Cuando n es 1 el valor es el mismo que el de PDF.BERNUOILLI
  
• PDF.POISSON(c, media): Numérico Devuelve como resultado la probabilidad de que un valor de la distribución de Poisson, con el parámetro de media o tasa especificado, sea igual a c. Es decir, probabilidad de que la variable X sea igual a c, P[X = c], siendo X una variable aleatoria con distribución de Poisson  de parámetro media.
• PDF.NORMAL(c, media, desv_tip): Numérico. Devuelve como resultado la densidad de probabilidad de la distribución Normal, con la media y desviación típica especificadas, en c.

---

Función de distribución

Se define la Función de Distribución de la variable aleatoria X, y se denota por F{X}, como la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual que xEs decir, F{X} es una función de los números reales, R, en el intervalo [0,1]
La variable aleaoria discreta está caracterizada por la función masa de probabilidad. Conocidos los valores pi se puede conocer la función de distribución. En efecto,

Propiedades

• P1) F{X}(.) es una función no-decreciente

• P2) F{X}(.) es continua a la derecha
• P3) F{X}(+∞) = +1 y F{X}(-∞) = 0
• P4) P[x1 < X ≤ x2] = F(x2) – F(x1)

• P5) P[X > x] = 1 – F(x)

Dada una variable aleatoria continua X, recibe el nombre de Función de Distribución, y se denota por F{X} (o F cuando en el contexto está claro a la v.a. que se refiere), la función F: R→ [0,1] definida por:

La función de densidad y la función de distribución de una v.a. continua están relacionadas:

Por lo tanto se verifica:

1. P[a < X < b] = F(b) – F(a)
2. P[X < a] = F(a)
3. P[X > b] = 1 – F(b)

La función de distribución es monótona no-decreciente, continua por lo menos a la derecha y tal que Se comprueba fácilmente que si X es una v.a. continua entonces la probabilidad del suceso X igual a constante es cero, P[X = a] = 0, aunque no es el suceso imposible. En efecto,

Para obtener valores de la función de distribución de un determinado modelo, en SPSS,  se selecciona en Grupo de funciones la opción FDA y FDA no centrada. Dado un valor de la variable, permite obtener la probabilidad de que la variable sea menor o igual a dicho valor en el modelo especificado. Se necesita conocer el valor de la variable y los parámetros que determinan al modelo.  Y en Funciones y variables especiales se selecciona la distribución correspondiente:

• CDF.BERNOUILLI(c, prob): Numérico. Devuelve como resultado la probabilidad acumulada de que un valor de la distribución de Bernouilli, con el parámetro de probabilidad dado, sea menor o igual que c. Es decir,  la probabilidad de que la variable X sea menor o igual que c, P[X ≤ c], siendo X una variable aleatoria con distribución de Bernouilli de parámetros 1 y prob.

• CDF.BINOM(c, n, prob): Numérico. Devuelve como resultado la probabilidad acumulada de que el número de éxitos en n ensayos, con probabilidad de éxtio p en cada uno de ellos, sea menor o igual que c. Es decir, la probabilidad de que la variable X sea menor o igual que c, P[X ≤ c], siendo X una variable aleatoria con distribución Binomial de parámetros n y prob. Cuando n es 1, el valor es el mismo que el de CDF.BERNUOILLI
• CDF.POISSON(c, media): Numérico. Devuelve como resultado la probabilidad acumulada de que un valor de la distribución de Poisson, con el parámetro de media o tasa especificado, sea menor o igual que c. Es decir, la probabilidad de que la variable X sea menor o igual que c, es decir, P[X ≤ c], siendo X una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro media.

• CDF.NORMAL(c, media, desv_típ): Numérico. Devuelve como resultado la probabilidad acumulada de que un valor de la distribución Normal, con la media y desviación típica especificadas, sea menor o igual que c. Es decir, la probabilidad de que la variable X sea menor o igual que c,  P[X ≤ c], siendo X una variable aleatoria con distribución Normal de parámetros media y desv_típ.

---

Calcular cuantiles

Para calcular cuantiles de una distribución específica se selecciona en Grupo de funciones la opción GL inversos. Dada una probabilidad acumulada, permite obtener el valor de la variable que acumula dicha probabilidad en un modelo determinado. Se necesita conocer la probabilidad acumulada y los parámetros del modelo.

• IDF.NORMAL(p, media, desv_típ): Numérico. Devuelve como resultado el valor de la distribución Normal de parámetros media y desv_típ  especificadas, cuya probabilidad acumulada es p, es decir, calcula un valor x tal que P[X ≤ x] = p, siendo X una variable aleatoria con distribución Normal de parámetros media y desv_típ.

---

Generar valores aleatorios de una distribución determinada

Para generar un conjunto de valores aleatorios procedentes de un modelo determinado se selecciona en Grupo de funciones la opción Números aleatorios. El número de valores generados dependerá del número de filas que se tengan activas en el Editor de datos, por lo que se tienen que activar tantas filas como números aleatorios se quieran generar. Así

• RV.BERNOUILLI(p): Numérico. Devuelve como resultado un valor aleatorio de una distribución de Bernouilli con el parámetro de probabilidad p especificado.
• RV.BINOM(n, p): Numérico. Devuelve como resultado un valor aleatorio de una distribución Binomial con el número de intentos n y el parámetro de probabilidad p especificados.
• RV.POISSON(media): Numérico. Devuelve como resultado un valor aleatorio de una distribución de Poisson  de parámetro media o tasa especificado.
• RV.NORMAL(media, desv_típ): Numérico. Devuelve como resultado un valor aleatorio de una distribución Normal de parámetros media y desv_típ especificadas
  

 

---

Supuesto práctico 1

El delegado de zona de una casa dedicada a la fabricación de calculadoras electrónicas vende, el mismo día a distintas empresas de una misma localidad, 5 máquinas iguales. La probabilidad de que este tipo de calculadoras estén en funcionamiento 3 años después es 0,8. Calcular la probabilidad de que:

a) Las cinco calculadoras estén fuera de servicio 3 años más tarde

b) Estén en servicio 3 años más tarde

c) Dos calculadoras a lo sumo estén fuera de servicio

d) Tres calculadoras estén fuera de servicio

e) Generar una muestra de tamaño 15.

Solución

Suceso éxito: “ Máquina que funciona tres años después”  => P[éxito] = 0.8

Se define la siguiente variable aleatoria: X = ”Nº de máquinas que funcionan tres años después de 5 máquinas”. Esta variable aleatoria tiene distribución Binomial de parámetros n = 5 y prob = 0.8.

Nota: Recordar que es necesario activar el Editor de datos, es decir, abrir algún fichero de datos o bien introducir algún número en una casilla, de otra forma aparece un mensaje de error.

a) Las cinco calculadoras estén fuera de servicio 3 años más tarde

P[todas las calculadores esten fuera de servicio] = P[X =0] = PDF.BINOM(0,5,0.8)

Se pulsa Aceptar y Continuar

P[X =0] = 0.00032

b) Estén en servicio 3 años más tarde

P[todas las calculadores esten en servicio] = P[X =5]= PDF.BINOM(5,5,0.8)

P[X =5] = 0.32768

c) Dos calculadoras a lo sumo estén fuera de servicio

P[Dos calculadoras a lo sumo estén fuera de servicio] = P[X  ≥ 3] = 1- P[X < 3]= 1- CDF.BINOM(2,5,0.8)

P[X  ≥ 3] = 1- P[X < 3]= 0.94208

d) Tres calculadoras estén fuera de servicio

P[Tres calculadoras estén fuera de servicio] = P[X  = 2] =  PDF.BINOM(2,5,0.8)

P[X  = 2] = 0.05120

e) Generar una muestra de tamaño 15

Nota: Recordar que para generar números aleatorios hay que activar tantas filas en el Editor de datos como números aleatorios se quieren generar. En este caso 15.

---

Supuesto práctico 2

La probabilidad de que un individuo sufra reacción al inyectarle un determinado suero es 0.1.

1. Si se inyecta el suero a una muestra de 30 personas, calcular la probabilidad de que menos de 2 sufran reacción
2. Calcular la probabilidad de que sufran reacción entre 33 y 51 personas de una muestra de 400.

Solución

A cada individuo al que se le administra el suero sufre o no reacción independientemente del resto, por lo tanto se tiene que:

Número de individuos que sufren reacción en una muestra de  n individuos se distribuye según una Binomial  de parámetros n y p

1. Si se inyecta el suero a una muestra de 30 personas, calcular la probabilidad de que menos de 2 sufran reacción

X: {Número de individuos que sufren reacción}; X→B(30, 0.1)

P[X  < 2] = CDF.BINOM(1,30,0.1)

P[X  < 2] = P[X  = 0] + P[X  =1] = 0.1836950

2. Calcular la probabilidad de que sufran reacción entre 33 y 51 personas de una muestra de 400.

Y: {Número de individuos que sufren reacción de una muestra de 400}; Y→B(400, 0.1)

• n = 400 > 10
• np = 40 > 5
• n(1- p) = 360 > 5

Por lo tanto 

P[33 < X  < 51] = P[X  < 50] – P[X  < 33] = CDF.NORMAL(50,40,6) – CDF.NORMAL(33,40,6)

P[33 < X  < 51] = 0.830537

---

Supuesto práctico 3

Se sabe por experiencia que la altura de la población de pino albar (Pinus sylvestris) sigue una distribución normal de media 25 metros y desviación típica 2.5 metros. Se pide:

1. Calcular la probabilidad de que un pico albar tenga una altura inferior a 24.8 metros
2. Calcular la altura máxima del 16.6% de los pinos con menor altura.

Solución

X: {Altura del pino Albar}; X→N(25, 2.5)

1. Calcular la probabilidad de que un pino Albar tenga una altura inferior a 24.8 metros

P[X  < 24.8] = CDF.NORMAL(24.8,25,2.5)

P[X  < 24.8] = CDF.NORMAL(24.8,25,2.5) = 0.468118

2. Calcular  la altura máxima del 16.6% de los pinos con menor altura.

P[X  < x] = 0.166 = IDF.NORMAL(0.116,25,2.5)

P[X  < x] = 0.166 ; x = 22.574766

---

Supuesto práctico 4

La concentración en plomo en partes por millón en la corriente sanguínea de un individuo tiene una media de 0.25 y una desviación típica de 0.11. Supongamos que dicha concentración sigue una ley Normal. Se pide:

1. Una concentración superior o igual a 0.6 partes por millón se considera extremadamente alta. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente esté incluido en esta categoría?
2. ¿Cuál es la concentración mínima del 30% de los individuos con más concentración?
3. Determinar la mediana de esta distribución.

Solución

X: {Concentración en plomo}; X→N(0.25, 0.11)

1. Una concentración superior o igual a 0.6 partes por millón se considera extremadamente alta. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente esté incluido en esta categoría?

P[X  ≥ 0.6] = 1- CDF.NORMAL(0.60,0.25,0.11)

P[X  ≥ 0.6] = 0.00073176

2. ¿Cuál es la concentración mínima del 30% de los individuos con más concentración?

P[X  < x] = 0.70 = IDF.NORMAL(0.70,0.25,0.11)

P[X  < x] = 0.70; x = 0.307684

3. Determinar la mediana de esta distribución.

Mediana = Media = Moda = 0.25

---

Supuesto práctico 5

En un laboratorio se está estudiando el crecimiento de cierto cultivo, se supone que la aparición de nuevas células sigue una ley de Poisson de media 16 células cada minuto. Obtener:

1. La probabilidad de que en un minuto aparezcan al menos 11 células
2. La probabilidad de que aparezcan entre 9 y 19

Solución

X: {Aparición de nuevas celulas}; X→P(16)

1. La probabilidad de que en un minuto aparezcan al menos 11 células

P[X  ≥ 11] = 1- CDF.POISSON(10,16)

P[X  ≥ 10] = 0.9226039

2. La probabilidad de que aparezcan entre 9 y 19

P[8 ≤ X  ≤ 19] = CDF.POISSON(19,16)– CDF.POISSON(9,16)

P[8≤ X  ≤ 19] = 0.7689502

---

---

---

Ejercicios

Ejercicios Guiados

A continuación se va a proceder a iniciar una aplicación Java, comprueba que tengas instalada la Máquina Virtual Java para poder ejecutar aplicaciones en Java.Si no tienes instalada la Máquina Virtual Java (Java Runtime Environment – JRE) pincha en uno de los enlaces para descargarla:

java

 

Instalación directa de la JRE 7 para WindowsPágina oficial de Sun Microsystems, descarga de la JRE para cualquier plataforma

 

Si ya tienes instalada la Máquina Virtual Java pincha en el siguiente enlace para proceder a la ejecución de los ejercicios guiados

Ejercicio 1   Ejercicio 2   Ejercicio 3

IMPORTANTE: Si al descargar el archivo *.JAR del ejercicio tu gestor de descargas intenta guardarlo como *.ZIP debes cambiar la extensión a .JAR para poder ejecutarlo.

---

Enunciado del Ejercicio 1

Se pretende comprobar la efectividad de una determinada vacuna contra la gripe. Para ello se administra dicha vacuna a un grupo de 15 pacientes. La probabilidad de que el paciente vacunado contraiga la gripe es 0.3. Calcula las siguientes probabilidades:

1. Ningún paciente contraiga la gripe
2. Más de dos pacientes contraigan la gripe
3. Contraigan la gripe entre tres y cinco pacientes, ambos inclusive
4. Generar una muestra aleatoria de tamaño 20 de valores de una distribución Binomial de parámetros n = 10 y prob = 0.2.

Enunciado del Ejercicio 2

En un servicio de urgencias de un determinado hospital se sabe que por término medio llegan diez pacientes durante una hora. Calcula la probabilidad de que:

1. Lleguen exactamente cinco pacientes en una hora
2. Lleguen menos de quince pacientes en dos horas
3. Lleguen más de cuatro y menos de ocho pacientes en una hora
4. Generar una muestra de tamaño 15 para una distribución de Poisson de parámetro media igual a 30.

Enunciado del Ejercicio 3

Se ha estudiado el nivel de glucosa en sangre en ayunas en un grupo de diabéticos. Esta variable se supone que sigue una distribución Normal, con media 106 mg/100 ml y desviación típica 8 mg/100 ml.
Se pide:

1. Obtener la probabilidad de que el nivel de glucosa en sangre en un diabético sea inferior a 120 mg/100 ml
2. ¿Qué porcentaje de diabéticos tienen niveles de glucosa en sangre comprendidos entre 90 y 130 mg/100 ml?
3. Hallar el valor de la variable caracterizado por la propiedad de que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior a dicho valor
4. Generar una muestra de tamaño 12 para una distribución Normal con media igual a 5 y desviación típica igual a 3.

 

---

---

Ejercicios Propuestos

Ejercicio Propuesto 1

Una prueba de laboratorio para detectar heroína en sangre tiene un 92% de precisión. Si se analizan 72 muestras en un mes. Calcular las siguientes probabilidades:

1. 60 o menos estén correctamente evaluadas
2. Menos de 60 estén correctamente evaluadas
3. Exactamente 60 estén correctamente evaluadas
4. Generar una muestra de tamaño 12.
   

---

Ejercicio Propuesto 2

En una cierta población se ha observado que el número medio anual de muertes por cáncer de pulmón es 12. Si el número de muertes causadas por la enfermedad sigue una distribución de Poisson, calcular las siguientes probabilidades:

1. Haya exactamente 10 muertes por cáncer de pulmón en un año
2. Más de 15 personas mueran a causa de la enfermedad durante un año
3. 10 o menos personas mueran a causa de la enfermedad en 6 meses.

---

Ejercicio Propuesto 3

En cierta especie de aves, se ha detectado una contaminación apreciable de mercurio (Hg) en sangre. La concentración de mercurio en sangre está distribuida normalmente con media 0.25 ppm (partes de Hg por millón, en plasma) y desviación típica 0.08 ppm.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave presente un nivel de mercurio en sangre superior a 0.40 ppm ?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave tenga un nivel de mercurio en sangre entre 0.20 y 0.50 ppm?
3. ¿Cuál es el nivel máximo de concentración de mercurio en sangre del 40% de las aves menos contaminadas?
4. Generar una muestra de tamaño 10.

---

Ejercicio Propuesto 1 (Resuelto)

Una prueba de laboratorio para detectar heroína en sangre tiene un 92% de precisión. Si se analizan 72 muestras en un mes. Calcular las  siguientes probabilidades:

1. 60 o menos estén correctamente evaluadas
2. Menos de 60 estén correctamente evaluadas
3. Exactamente 60 estén correctamente evaluadas
4. Generar una muestra de tamaño 12.

---

Solución:

Suceso éxito: “ Prueba evaluada correctamente” => P[éxito] = 0.92

Se define la siguiente variable aleatoria: X = ”Nº de pruebas evaluadas correctamente de 72 muestras”
Esta variable aleatoria tiene distribución Binomial de parámetros n = 72 y prob = 0.92. A continuación se calculan las probabilidades pedidas.

Nota: Recordar que es necesario activar el Editor de datos, es decir, abrir algún fichero de datos o bien introducir algún número en una casilla, de otra forma aparece el siguiente mensaje de error.

1. Calcular la probabilidad de que 60 o menos están correctamente evaluadas

P[60 o menos pruebas estén correctamente evaluadas] = P[X ≤ 60]= CDF.BINOMIAL(60,72,0.92) = 0.0114

2. Calcular la probabilidad de que menos de 60 estén correctamente evaluadas

P[menos de 60 pruebas estén correctamente evaluadas] = P[X < 60] = P[X ≤ 59] = 0.0043

3. Calcular la probabilidad de que exactamente 60 estén correctamente evaluadas

P[exactamente 60 estén correctamente evaluadas] = P[X = 60] = PDF.BINOMIAL(60,72,0.92) = 0.0070

4.  Generar una muestra de tamaño 12

En primer lugar hay que activar en el Editor de datos tantas filas como números aleatorios se vayan a generar, en este caso 12. Para ello, se pincha con el ratón en la casilla correspondiente de la Columna 1 y Fila 12 y se escribe un número cualquiera en la última casilla. Se puede comprobar como automáticamente las 12 primeras filas se han activado (el número de filas aparece en negrita) y esto permite generar 12 números aleatorios.

A continuación se accede al menú Transformar/Calcular…

RV.BINOMIAL(72, 0.92)

---

Ejercicio Propuesto 2 (Resuelto)

En una cierta población se ha observado que el número medio anual de muertes por cáncer de pulmón es 12. Si el número de muertes causadas por la enfermedad sigue una distribución de Poisson, calcular las siguientes probabilidades:

1. Haya exactamente 10 muertes por cáncer de pulmón en un año
2. Más de 15 personas mueran a causa de la enfermedad durante un año
3. 10 o menos personas mueran a causa de la enfermedad en 6 meses.

---

Solución:

Se define la siguiente variable aleatoria: X = ”Nº de muertes por cáncer de pulmón en un año”. Esta variable aleatoria tiene distribución de Poisson de parámetro λ = 12. Seguidamente se calculan las probabilidades pedidas.

1. Calcular la probabilidad de que haya exactamente 10 muertes por cáncer de pulmón en un año

P[Haya exactamente 10 muertes por cáncer de pulmón en un año] = P[X = 10] = PDF.POISSON(10,12)= 0.1048

2. Calcular la probabilidad de que más de 15 personas mueran a causa de la enfermedad durante un año

P[más de 15 personas mueran a causa de la enfermedad durante un año] = P[X > 15] = 1 – P[X ≤ 15] = 1- CDF.POISSON(15,12) = 0.1555

3. Calcular la probabilidad de que 10 o menos personas mueran a causa de la enfermedad en 6 meses.

Se define una nueva variable, Y = ”Nº de muertes por cáncer de pulmón en seis meses”. Esta variable aleatoria tiene distribución de Poisson de parámetro λ = 6. A partir de aquí se calcula la probabilidad que se pide.

P[10 o menos personas mueran a causa de la enfermedad en 6 meses] = P[Y ≤ 10] = CDF.POISSON(10,6) = 0.9573

---

Ejercicio Propuesto 3 (Resuelto)

En cierta especie de aves, se ha detectado una contaminación apreciable de mercurio (Hg) en sangre. La concentración de mercurio en sangre está distribuida normalmente con media 0.25 ppm (partes de Hg por millón, en plasma) y desviación típica 0.08 ppm.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave presente un nivel de mercurio en sangre superior a 0.40 ppm ?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave tenga un nivel de mercurio en sangre entre 0.20 y 0.50 ppm?
3. ¿Cuál es el nivel máximo de concentración de mercurio en sangre del 40% de las aves menos contaminadas?
4. Generar una muestra de tamaño 10.

---

Solución:

Se define la siguiente variable aleatoria: X = ”Concentración de mercurio en sangre”. Esta variable aleatoria tiene distribución Normal con parámetros µ = 0.25 y σ = 0.08. A continuación calculan las probabilidades pedidas.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave presente un nivel de mercurio en sangre superior a 0.40 ppm?

P[Un ave presente un nivel de mercurio en sangre superior a 0.40 ppm] = P[X > 0.40] = 1 – P[X ≤ 0.40] = 1- CDF.NORMAL(0.40,0.25,0.08) = 0.0303

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un ave tenga un nivel de mercurio en sangre entre 0.20 y 0.50 ppm?

P[Un ave tenga un nivel de mercurio en sangre entre 0.20 y 0.50 ppm] = P[0.20 < X < 0.50] = P[X < 0.50] – P[X ≤ 0.20] = CDF.NORMAL(0.50,0.25,0.08) – CDF.NORMAL(0.20,0.25,0.08) = 0.7331

3. ¿Cuál es el nivel máximo de concentración de mercurio en sangre del 40% de las aves menos contaminadas?

Se pide calcular el percentil 40 de la distribución, es decir, calcular P40, tal que P[X < P40] = 0.40.

Se elige en Expresión numérica la función que calcula un valor de la distribución Normal considerada tal que acumula una probabilidad dada. Para ello, se selecciona en Grupo de funciones la opción Gl inversos y en Funciones y variables especiales se selecciona la función IDF.NORMAL(p,media,desv_típ). Se modifican los parámetros, p = 0.40., media = 0.25 y desv_típ = 0.08.

P[X < P40] = 0.40 => IDF.NORMAL(0.40,0.25,0.08) = 0.2297 => P40 = 0.2297

4. Generar una muestra de tamaño 10

En primer lugar hay que activar en el Editor de datos tantas filas como números aleatorios se vayan a generar, en este caso 10. Para ello, se pincha con el ratón en la casilla correspondiente de la Columna 1 y Fila 10 y se escribe un número cualquiera en la última casilla. Se puede comprobar como automáticamente las 10 primeras filas se han activado (el número de fila aparece en negrita) y esto permite generar 10 números aleatorios.

A continuación se accede al menú Transformar/Calcular…

RV.NORMAL(0.25,0.08)