El objetivo de este par de charlas es introducir a un nivel básico algunos elementos de Geometría de Finsler, y explicar la relación entre una clase relevante de variedades de Finsler y una de espaciotiempos relativistas. En la primera parte se introducen las variedades de Finsler, detallándose el papel de los elementos vectoriales que aparecen punto a punto (normas de Minkowski). En particular, se introducen las variedades de Randers, que es la clase más típica de variedades de Finsler no reversibles. Se muestra entonces cómo existe una relación natural entre elementos de una variedad de Randers y de un espaciotiempo estacionario estándar, y cómo los resultados de una Geometría generan resultados, algunos sorprendentes, en la otra. La segunda parte se centra en los tipos de curvaturas definibles en una variedad de Finsler, con especial atención a la más importante de ellas, la curvatura bandera. En particular contaremos cómo se llegó a clasificar los espacios de Randers de curvatura bandera constante (el caso general es todavía un problema abierto). Veremos también cuáles de los teoremas clásicos de geometría global se pueden extender al caso Finsler. Entre ellos podemos citar los teoremas de Bonnet-Cartan, Gauss-Bonnet, Bonnet-Myers, Synge o el teorema de la esfera.

El objetivo de este par de charlas es introducir a un nivel básico algunos elementos de Geometría de Finsler, y explicar la relación entre una clase relevante de variedades de Finsler y una de espaciotiempos relativistas. En la primera parte se introducen las variedades de Finsler, detallándose el papel de los elementos vectoriales que aparecen punto a punto (normas de Minkowski). En particular, se introducen las variedades de Randers, que es la clase más típica de variedades de Finsler no reversibles. Se muestra entonces cómo existe una relación natural entre elementos de una variedad de Randers y de un espaciotiempo estacionario estándar, y cómo los resultados de una Geometría generan resultados, algunos sorprendentes, en la otra. La segunda parte se centra en los tipos de curvaturas definibles en una variedad de Finsler, con especial atención a la más importante de ellas, la curvatura bandera. En particular contaremos cómo se llegó a clasificar los espacios de Randers de curvatura bandera constante (el caso general es todavía un problema abierto). Veremos también cuáles de los teoremas clásicos de geometría global se pueden extender al caso Finsler. Entre ellos podemos citar los teoremas de Bonnet-Cartan, Gauss-Bonnet, Bonnet-Myers, Synge o el teorema de la esfera.

We discuss how the theory of pseudo-holomorphic curves may be used to study constant Gaussian curvature surfaces in three dimensional manifolds.

Se estudian grafos espaciales con curvatura media cero en espacio-tiempos de Robertson-Walker tridimensionales. Se obtiene un resultado de unicidad y otro de no existencia para soluciones enteras de la ecuación de superficies maximales en dichos espacio-tiempos. Se exponen, finalmente, consecuencias y problemas abiertos.

Closely related with the dynamics of General Relativity in the Maximal and Constant Mean Curvature gauge is the problem of understanding the relation between scalar curvature, isoperimetry and integral (Lp) curvature in dimension three. We will discuss the proof a theorem saying that a positive lower bound on the scalar curvature, and the Lp (p>3/2) norm of the Ricci tensor control the isoperimetric constant and thus prevent isoperimetric collapse. The proof is based on a technique that uses size relations of stable minimal tubes to understand (and rule out) collapsed regions.

En esta charla estudiaremos operadores del tipo L := Δ + V - aK en una superficie Riemanniana Σ, tal que V := c + P, donde c es una constante no-negativa y P es una función no-positiva e integrable en Σ. El principal resultado será demostrar si L es no-positivo cuando actúa sobre funciones no-negativas de soporte compacto, a > 1/4 y Σ es completa, entonces Σ es compacta o parabólica con área finita. Daremos aplicaciones a superficies estables en submersiones.

Los modelos asintóticos de finales anulares completos, mínimos y embebidos en R^3 con curvatura total finita eran bien conocidos (finales planos y de tipo catenoide). En el caso de curvatura total infinita (CTI), el único modelo asintótico conocido hasta ahora era el del helicoide. Probaremos que este modelo asintótico es sólo uno dentro de una familia 2-paramétrica de posibilidades, que pueden parametrizarse mediante el vector flujo del final anular a lo largo de su borde. Describiremos la geometría de estos nuevos finales mínimos de CTI como multigrafos que generalizan al final de un helicoide, y veremos que cada final anular embebido y mínimo con CTI es asintótico al único modelo con su mismo vector flujo. Como consecuencias de esta clasificación, veremos una simplificación considerable en la demostración original de Meeks-Rosenberg de la unicidad del helicoide, y demostraremos que una superficie mínima completa, embebida, con un sólo final, género finito y CTI es asintótica a un helicoide (demostrado recientemente por Bernstein y Breiner).

Un final anular E de una superficie de Riemann M se dice de tipo finito para una función armónica $f:E\rightarrow \mathbb{R}$ si existe un conjunto de nivel de $f$ que tiene un número finito de finales como complejo 1-dimensional. Veremos que en estas condiciones, podemos decidir a partir de los conjuntos nodales de $f$ si la estructura conforme de E es parabólica o hiperbólica. En el caso de que M sea una superficie mínima propiamente inmersa en $\mathbb{R}^3$ y $f$ una función coordenada descartaremos el caso hiperbólico, deduciendo que si existe un plano de $\mathbb{R}^3$ que corta a un final anular de M en un complejo 1-dimensional con un número finito de finales, entonces el tipo conforme de ese final es parabólico (este resultado se usará en la charla del día 28) y que si en vez de uno tenemos dos planos no paralelos con esa propiedad, entonces el final es de curvatura total finita.

Se pretende estudiar las soluciones autosemejantes del flujo lagrangiano de la curvatura media. Primero, se presentarán diferentes familias de ejemplos construidos en términos de curvas planas, esféricas e hiperbólicas. En segundo lugar, se procederá a la clasificación de aquéllas que sean además estacionarias hamiltonianas.

I will give a survey of some of the exciting progress in the classical theory of surfaces M in 3-manifolds with constant mean curvature H greater than or equal to zero; we call such a surface an H-surface. The talk will cover the following topics: The classification of properly embedded genus 0 minimal surfaces in $\mathbb{R}^3$. (joint with Perez and Ros) The theorem that for any $c>0$, there exists a constant $K=K(c)$ such that for $H>c$, and any compact embedded H-disk D in $\mathbb{R}^3$ (joint with Tinaglia): the radius of D is less than K. the norm of the second fundamental form of D is less than K for any points of D of intrinsic distance at least c from the boundary of D is less than K. item 2.2 works for any compact embedded H-disk ($H>c$) in any complete homogeneous 3-manifold with absolute sectional curvature less than 1 for the same K. For $c>0$, there exists a constant K such that for any complete embedded H-surface M with injectivity radius greater than $c>0$ in a Riemannian 3-manifold with absolute sectional curvature <1 has the norm of its second fundamental form less than K. (joint with Tinaglia) Complete embedded finite topology H-surfaces in $\mathbb{R}^3$ have positive injectivity radius and are properly embedded with bounded curvature. Complete embedded simply connected H-surfaces in $\mathbb{R}^3$ are spheres, planes and helicoids; complete embedded H-annuli are catenoids and Delaunay surfaces. Complete embedded simply-connected and annular H-surfaces in $H^3$ with H less than or equal to 1 are spheres and horospheres, catenoids and Hsiang surfaces of revolution; the key fact here is that complete + connected implies proper. Classification of the conformal structure and asymptotic behavior of complete injective H-annuli $f: S^1 \times [0,1)\rightarrow \mathbb{R}^3$; there is a 2-parameter family of different structures for $H=0$. (joint with Perez when $H=0$) Solution of the classical proper Calabi-Yau problem for arbitrary topology (even with disjoint limit sets for distinct ends!!). (joint with Ferrer and Martin)

We present an approach to affine symplectic invariant geometry of Lagrangian surfaces by the method of moving frames. We focus on elliptic Lagrangian surfaces, a spacelike property inferred from the identification of the Lagrangian Grassmannian with the Einstein universe. The fundamental invariants of elliptic Lagrangian immersions in affine symplectic four-space are derived together with their integrability equations. The invariant setup is applied to discuss the questions of symplectic applicability and deformation for elliptic Lagrangian immersions.

El uso de páginas webs de asignaturas y de profesores es habitual en la universidad española, utilizándose generalmente como almacén de contenidos. Frente a ello, la tecnología Web 2.0 (foros, wikis, redes sociales, etc) presenta y fomenta la interactividad de los usuarios de internet. En esta charla se describe cómo se ha usado un blog para complementar la docencia de la asignatura Topología I.

The singly periodic, genus one helicoid is conjectured to be the limit of a one parameter family of doubly periodic minimal surfaces referred to as Perturbed Genus One Scherk Surfaces. Using elementary elliptic function theory, we show such surfaces exist, solving a two-dimensional period problem by perturbing a one-dimensional problem. Using flat structures associated to these minimal surfaces, we then verify the conjecture. Casey Douglas visitará granada desde el 3 al 30 de junio.

We show that smooth isoperimetric profiles are exceptional for real analytic Riemannian manifolds. For instance, under some extra assumption, this can happen only on topological spheres. Stefano Nardulli visitará granada desde el 29 de abril al 7 de junio.

We show that, the solutions of the isoperimetric problem for small volumes are $C^{2,alpha }$-close to small spheres. On the way, we define a class of submanifolds called pseudo balls, defined by an equation weaker than constancy of mean curvature. We show that in a neighborhood of each point of a compact riemannian manifold, there is a unique family concentric pseudo balls which contains all the pseudo balls $C^{2,alpha }$-close to small spheres. This permit us to reduce the isoperimetric problem for small volumes to a variational problem in finite dimension. Stefano Nardulli visitará Granada desde el 29 de abril al 7 de junio.

The width of a closed convex subset of the Euclidean space is the distance between two parallel supporting planes. For example the sphere has constant width in all directions, but there is an infinity of convex subsets sharing this property. The Blaschke-Lebesgue problem, consisting of minimizing the volume in the class of convex sets of fixed constant width is still open. In this talk we shall describe a necessary condition that must satisfy the minimizer of the Blaschke-Lebesgue.

Conferencia dentro del programa de postgrado Máster de Matemáticas

I will survey the recent work of Haskins and myself constructing new special Lagrangian cones in $C^n$ for all $nge3$ by gluing methods. The link (intersection with the unit sphere S^{2n-1}) of a special Lagrangian cone is a special Legendrian (n-1)-submanifold. I will start by reviewing the geometry of the building blocks used. They are rotationally invariant under the action of SO(p) imes SO(q) (p+q=n) special Legendrian (n-1) submanifolds of S^{2n-1}. These we fuse (when p=1, p=q) to obtain more complicated topologies. The submanifolds obtained are perturbed to satisfy the special Legendrian condition (and their cones therefore the special Lagrangian condition) by solving the relevant PDE. This involves understanding the linearized operator and its small eigenvalues, and also ensuring appropriate decay for the solutions.. Nicos Kapuleas visitará granada desde el 10 al 17 de mayo.

Report on the work of Clayton Shonkwiler. In his PhD thesis, Shonkwiler provides a new set of invariants which measure the relative position, in the L2 inner product, of the harmonic fields which represent absolute and relative cohomology. These invariant angles always vanish when the manifold is closed, never vanish when it has a boundary, and appear to go to zero as the manifold closes up. They can be computed explicitly for certain subdomains of complex projective spaces and Grassmann manifolds, using invariant differ- ential forms and the solution of systems of differential equations, and in these cases do go to zero as the boundary shrinks. Shonkwiler then discovers an original and unexpected connection between these angles and the generalized Dirichlet-to-Neumann map for differential forms (higher dimensional electrical impedance tomography), and applies this towards detection of the cup product structure from boundary data, a problem proposed last year by Belishev and Sharafutdinov. Herman Glück visitará granada desde el 4 al 8 de mayo.

The Four Vertex Theorem, one of the earliest results in global differential geometry, says that a simple closed curve in the plane, other than a circle, must have at least four "vertices", that is, at least four points where the curvature has a local maximum or local minimum. In 1909 Syamadas Mukhopadhyaya proved this for strictly convex curves in the plane, and in 1912 Adolf Kneser proved it for all simple closed curves in the plane, not just the strictly convex ones. The Converse to the Four Vertex Theorem says that any continuous real-valued function on the circle which has at least two local maxima and two local minima is the curvature function of a simple closed curve in the plane. In 1971 I proved this for strictly positive preassigned curvature, and in 1997 Björn Dahlberg proved the full converse, without the restriction that the curvature be strictly positive. Herman Glück visitará granada desde el 4 al 8 de mayo

The aim of this seminar is to give a short introduction to the basic theory of tranformation groups giving relevant applications in Riemannian geometry. In particular we present Hamiltonian actions discussing some recent results like uniqueness and multiplicty of symplectic and Lagrangian orbits, the convex envelope of a coadjoint orbit and how can we estimate the first eigenvalue of a compact Hermitian symmetric space. Some results were obtained in collaboration with Dr. Alessandro Ghigi.

A smooth closed curve of $mathbb{R}^4$ bounds a minimal disk. This disk may develop singularities. Locally, near a singularity, the minimal surface is a cone generated by a curve- link or knot - that lies in a small hypersphere centered around the singularity. We will address here two questions on the topological nature of these knots: In $mathbb{R}^3$ branch points are always unstable, but not anymore in $mathbb{R}^4$ : what are the knots associated to area-minimizing singularities (more specifically are they identical (up to isotopy) to knots associated to singularities of algebraic curves which are special minimal surfaces)? Are there knots that can never be associated to a minimal singularity? Marc Soret estará en Granada desde el 22 al 25 de abril.

Está conferencia está organizada por el Programa de Postgrado en Matemáticas

Está conferencia está organizada por el Programa de Postgrado en Matemáticas

Este seminario va dirigido especialmente a estudiantes de posgrado que hayan completado al menos un primer curso de geometría diferencial. Nuestro objetivo es introducir a los alumnos en algunas de las técnicas del análisis geométrico y en sus aplicaciones al estudio de la geometría global de hipersuperficies minimales y de curvatura media constante en la esfera. Como es bien sabido, las hipersuperficies minimales son puntos críticos del problema variacional de minimizar el área. De modo análogo, las hipersuperficies de curvatura media constante (CMC) también son soluciones del mismo problema variacional cuando se restringe a variaciones que conservan el volumen. Nos proponemos hacer accesibles al nivel de los estudiantes distintos resultados de investigación, más o menos recientes, sobre el índice de estabilidad de hipersuperficies minimales y de hipersuperficies de CMC en la esfera, incluyendo algunos resultados recientes del autor. Está conferencia está organizada por el Programa de Postgrado en Matemáticas y el departamento de geometría y topología

Este seminario va dirigido especialmente a estudiantes de posgrado que hayan completado al menos un primer curso de geometría diferencial. Nuestro objetivo es introducir a los alumnos en algunas de las técnicas del análisis geométrico y en sus aplicaciones al estudio de la geometría global de hipersuperficies minimales y de curvatura media constante en la esfera. Como es bien sabido, las hipersuperficies minimales son puntos críticos del problema variacional de minimizar el área. De modo análogo, las hipersuperficies de curvatura media constante (CMC) también son soluciones del mismo problema variacional cuando se restringe a variaciones que conservan el volumen. Nos proponemos hacer accesibles al nivel de los estudiantes distintos resultados de investigación, más o menos recientes, sobre el índice de estabilidad de hipersuperficies minimales y de hipersuperficies de CMC en la esfera, incluyendo algunos resultados recientes del autor. Está conferencia está organizada por el Programa de Postgrado en Matemáticas y el departamento de geometría y topología

A surface energy is anisotropic if it depends on the direction of the surface. This type of energy arises when considering an interface between ordered and disordered materials. We will discuss the stability of solutions to free boundary problems when the free energy is anisotropic. The boundary terms contain wetting and line tension.

I will recall the notion of the spectrum of a Riemannian manifold M and some of its properties related to curvature. Then I will specify for the case M is a complete minimal immersed submanifold of a Riemannian manifold, namely when it is bounded (in a certain sense), as the Martin-Morales surfaces case treated by Bessa Jorge and Montenegro, and also for the unbounded case as the graphic minimal submanifolds.

For several centuries, there were only two known examples of complete embedded minimal surfaces in R^3 with one end: the plane and the helicoid. Recently a third such surface was found: the genus-one helicoid. I will talk about we know the surface exists, and I will discuss some results and open questions that its discovery has led to.

En diferentes fenómenos físicos, asociados generalmente a capilaridad, las interfases están modeladas por superficies cuya curvatura media satisface cierta propiedad. El caso más simple es que la curvatura media sea constante (por ejemplo, en entornos de microgravedad). El objetivo de la charla es mostrar diferentes escenarios físicos posibles, revisando las posibles configuraciones geométricas que pueden adoptar dichas superficies. Se discutirá resultados y se introducirá las técnicas que se emplea, especialmente las provenientes de la teoría de EDPs de tipo elíptico. Dirigido especialmente para estudiantes de postgrado.

En diferentes fenómenos físicos, asociados generalmente a capilaridad, las interfases están modeladas por superficies cuya curvatura media satisface cierta propiedad. El caso más simple es que la curvatura media sea constante (por ejemplo, en entornos de microgravedad). El objetivo de la charla es mostrar diferentes escenarios físicos posibles, revisando las posibles configuraciones geométricas que pueden adoptar dichas superficies. Se discutirá resultados y se introducirá las técnicas que se emplea, especialmente las provenientes de la teoría de EDPs de tipo elíptico. Dirigido especialmente para estudiantes de postgrado.

Discutiremos algunos resultados recientes relacionados con la conjetura de Calabi-Yau para superficies minimales embebidas de R^3